ТАИНСТВЕННАЯ ВЯЗЬ ИСТОРИИ
В разные эпохи один и тот же объект принимал образы символа Одина (Валькнута), колец Борромео, матриц Адамара. Так ему удалось пережить столетия. .
СИМВОЛ ОДИНА (ВАЛЬКНУТ)
Кольца Борромео, матроид Фано и матрицы Адамара – три разные ипостаси объекта, трактуемого в разные века и у разных народов как святая Троица, символ Одина или Валькнут. Валькнут часто встречается при археологических раскопках на древних рунических камнях (как правило, поминальных) рядом с изображениями Одина или павших воинов. Его иногда так и называют – Узел Павших или Узел Избранных.
Три переплетенных треугольника символизируют три мира: мир богов (Асгард), мир людей (Мидгард) и мир мертвых (Хель). Не часто в мире встречается символ подобной силы. Как говорит А. Платов (Платов А., Дарт А. ван. Практический курс рунического искусства. К.: София, 2000): «Три мира переплетены в этом символе Отца Магии; следует видеть в этом знак того, что маг черпает Силу и мудрость изо всех трех миров, взаимопроникающих и пересекающихся чаще, чем об этом думают. Валькнут – своего рода Северная Мандала. Созерцание такого глубокого магического символа, как Валькнут, и размышление о его сути – возможно, это одна из тех многих тропок, что могут вести к самотрансформации».
КАРТА КОСМОСА: МАНДАЛА
Мандала – это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель вселенной, «карта космоса». Типичная форма – внешний круг, вписанный в него квадрат, в который вписан внутренний круг, который часто сегментирован или имеет форму лотоса. Нечто сходное с матрешками орбит Кеплера или с магическим квадратом Ло Шу, вырезанным на спине черепахи китайским божеством.
Внешний круг – Вселенная, внутренний круг – измерение божеств, бодхисаттв, будд. Квадрат между ними ориентирован по сторонам света. Мандала символизирует сферу обитания божеств, чистые земли будд. Мандалы могут быть как двумерными, изображенными на плоскости, так и объемными, рельефными. Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Ее даже могут вырезать из масла, которое окрашивают в соответствующие ритуальные цвета. Мандалы часто изображают на полах, стенах и потолках храмов.
Мандала является настолько священной на Востоке, что рисуется под аккомпанемент особых ритуалов и сама может считаться объектом поклонения. Некоторые из мандал выполняют из цветных порошков для проведения определенной ритуальной практики (например, в посвящении Калачакры). До наших дней дошел Календарь древней цивилизации Майя, выполненный в форме мандалы.
Карл Густав Юнг идентифицировал мандалу как архетипический символ человеческого совершенства – ныне она используется в психотерапии в качестве средства достижения полноты понимания собственного «я». В Индии сохраняется сходное искусство – ранголи, или альпона. При очевидной восточной вычурности эффект мандалы известен, впрочем, с детства едва ли не каждому, вспомните калейдоскоп. Для надстройки сознания мандалу нужно созерцать. К концу ритуала сделанную мандалу разрушают.
КОЛЬЦА БОРРОМЕО
Что же такое "кольца Борромео"? Это три кольца, попарно не сцепленные, но в совокупной целостности разъединить их не удается. Кольца соединены таким способом, при котором любые два кольца скрепляются посредством третьего. Такие кольца были изображены на фамильном гербе знаменитого в эпоху Возрождения итальянского семейства Борромео, откуда они и получили свое название.
В предположении, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать. Для создания фигуры в трехмерном пространстве, необходимы трехмерные изгибы колец. Математические кольца Борромео определяются как три или больше топологических окружности, объединенных в соединении Брунниана таким образом, что при удалении из конструкции одной из них оставшиеся два оказываются разомкнутыми. Если подразумевать под кольцами физические подсистемы, то их характерной особенностью является то, что если одно кольцо убрать, то два оставшихся не будут связаны никакими корреляциями. Они станут сепарабельными (разделимыми), то есть их запутанность распадается с удалением любого кольца.
Международная группа физиков получила из трех обычных атомов новое состояние вещества, предсказанное советским ученым Виталием Ефимовым еще в 1970 году.
Он показал, что в квантовой системе из трех частиц наличие «резонансности» парных сил необходимо и достаточно для возникновения семейства связанных уровней, в отдельных случаях содержащее бесконечное их количество. Наиболее благоприятно этот эксперимент протекает в системе бесспиновых нейтральных бозонов. В новом эксперименте существование эффекта, предсказанного советским физиком, было подтверждено для системы из атомов цезия. Любые два из этих атомов отталкиваются при сближении. «Но если соединить вместе три атома, оказывается, что они притягиваются и переходят в новое состояние», – объясняет доктор Чэн Чин из Чикагского университета. Он и его коллеги из Инсбрукского университета в Австрии под руководством Рудольфа Грима получили новое состояние вещества в вакуумной камере при очень низких температурах, почти при абсолютном нуле.
Атомы в новом состоянии ведут себя как «кольца Борромео» – узел из трех колец в котором любые два не связаны друг с другом, но все три вместе образуют единый узел.
Кольца Борромео как топологическая структура используются в качестве символа христианской Троицы. Ранее нередко встречались такие символы, как равносторонний треугольник, круг и некоторые другие, но сейчас все чаще Троицу изображают в виде колец Борромео. Одним из самых ранних источников, где было приведено такое символическое изображение Пресвятой Троицы, считается рукопись тринадцатого столетия, которая хранилась в муниципальной библиотеке г. Шартр (Chartres) во Франции. К сожалению, рукопись погибла в огне в 1944 году.
Во все времена кольца Борромео служили символом «силы в единстве». Семьи Борромео и ныне владеет на севере Италии тремя островами на озере, где расположен впечатляющий дворец в стиле барокко, построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео. В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео. Невозможные объекты получили развитие в рисунках Эшера.
МАТРОИД ФАНО
Центральная часть колец Борромео проецируется на диаграмму или матроид Фано. Возьмем треугольник с медианными линиями. Будем считать (одной) стороной (или блоком) совокупность трех точек пересечения, всего точек семь: (7,3,1).
Диаграмма показывает 3-ранговый матроид, называемый матроидом Фано, пример, который появился в 1935 в статье Уитни (Whitney). Название возникло из того факта, что матроид Фано представляет собой проективную плоскость второго порядка, известная как плоскость Фано, чье координатное поле – это двух-элементное поле. Это означает, что матроид Фано – векторный матроид, связанный с семью ненулевыми векторами в трехмерном векторном пространстве над полем 2-х элементов. Из проективной геометрии известно, что матроид Фано непредставим произвольным множеством векторов в вещественном или комплексном векторном пространстве (или в любом векторном пространстве над полем, чьи характеристики отличаются от 2).
Матроид (в дискретной математике и комбинаторике) – структура, которая схватывает сущность понятия «независимость», обобщающего линейную независимость в векторных пространствах. Классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Выделим все блоки по три точки: A = {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}. Это координаты – если считать верхний левый угол 0 – единиц матрицы инцидентности – матрица связей графа (матрицы Адамара).
Существуют и иные символы, идущие от древности, содержащие базисные коды, которые человечество в потемках нарождающейся цивилизации слагало, изобретая геометрические треугольные, квадратные и прочие числа.
И-Цзин – триграммы "Книги перемен"
Кольца Борромео - одна из известных невозможных фигур, имеющая древнюю историю. Эта фигура основана на симметричной расстановке перекрывающих друг друга колец. Предполагая, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать в нашем мире. Для создания фигуры в трехмерном пространстве необходимы разрывы или искажения.
В математике кольца Борромео состоят из трех топологических кругов, объединенных в соединение Брунниана (Brunnian link), таким образом при удалении из конструкции одного из колец мы получаем два разомкнутых кольца.
Во все времена кольца Борромео служили символом "силы в единстве".
Семья Борромео
Название кольца Борромео происходит от фамилии аристократической итальянской семьи Борромео. Семья Борромео владеет на севере Италии тремя островами на озере Маджоре (Maggiore): Исола Белла (Isola Bella), Исола Мадре (Isola Madre) и Исола Сьюпериоре (Isola Superiore). На Исола Белла находится впечатляющий дворец в стиле барокко , построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео (Vitaliano Borromeo) (1620-1690). В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео.
Однако, на территории дворца можно встретить несколько вариантов фигуры с различными пересечениями колец.
На фотографиях ниже Вы можете видеть эти варианты.
|
Входной билет (a) |
 Цветочный горшок (a) |
 Цветочный горшок (c) |
Ворота (c) |
Викинги
Задолго до Витальяно Борромео такое соединение было известно викингам Скандинавии. Этот символ был известен им как "Треугольник Одина" или Валькнут и изображался в двух вариантах.
Ниже представлен один из примеров Валькнута. Это часть изображения на камне, найденном на острове Готланд (Gotland) в Балтийском море недалеко от берегов Швеции. Этот камень был воздвигнут в 9 веке н.э. Символ Валькнут изображен в верхней части камня. Сейчас он находится в Историческом Музее Стокгольма.
Святая троица
Кольца Борромео часто служат символом единства. В христианстве он иногда используется для обозначения Святой Троицы.
Змеи, полумесяцы, серпы
Подобно кольцам Борромео в соединялсь и другие изогнутые объекты таким же способом. Например, в геральдике часто применялись символы змей, полумесяцев и серпов. Символ с объединением полумесяцев был разработан архитектором Филибертом де л"Орме (Philibert de l"Orme) для Дианы де Пуатье (Diane de Poitiers) (1499-1566) - фаворитки французского короля Генриха II, чьей эмблемой был полумесяц.
Японские геральдические символы примечательны своим многообразием, изобретательностью и элегантность. В изображениях ниже можно заметить и аистов, и бамбук и многоугольники и томо (символ в виде запятой).
|
|
Логотипы
В наши дни кольца Борромео можно встретить в различных логотипах. Наиболее известным является логотип пива Баллантайнс (Ballantine). В Северной Америке кольца Борромео известный под названием кольца Баллантайна по названию фирмы из Нью-Джерси Brewing company P. Ballantine and Sons, занимающегося производством пива.
Кольца Борромео можно встретить в такой неожиданной области науки, как химия. Ученые создают полимеры, молекулы которых соединены в виде колец Борромео, а также узлы из молекул ДНК. Но, наверное, самая маленькая структура Борромео была создана из молекулярных колец.
Невозможная фигура
Хотя кольца Борромео в своей обычной форме являются невозможной фигурой, ее можно сделать еще более невозможной, если заменить кольца на
(то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены, как в зацеплении Хопфа , тем не менее, все вместе они сцеплены.
Математические свойства
Несмотря на кажущуюся из иллюстраций естественность колец Борромео, из геометрически идеальных окружностей такое зацепление сделать невозможно . Также это можно увидеть, рассмотрев диаграмму узла: если предположить, что окружности 1 и 2 касаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в одной плоскости, либо на сфере. В обоих случаях третья окружность должна пересекать эту плоскость или сферу в четырёх точках и не лежать на ней, что невозможно .
В то же время подобное зацепление можно осуществить с помощью эллипсов, причём Эксцентриситет этих эллипсов можно сделать сколь угодно малым. По этой причине тонкие кольца, сделанные из гибкой проволоки, можно использовать как кольца Борромео.
Зацепление
Подробнее по этой теме см. Группа зацепления.
Гиперболическая геометрия
Кольца Борромео являются примером гиперболического сцепления - дополнение колец Борромео в 3-сфере допускает полную гиперболическую метрику с конечным объёмом. Каноническое разложение (Эпштейна - Пеннера) дополнения состоит из двух правильных октаэдров . Гиперболический объём равен 16Л(π/4) = 7.32772…, где Л - функция Лобачевского .
Связь с косами
Если рассечь кольца Борромео, получим одну итерацию обычного плетения косы . Обратно, если связать концы (одной итерации) обычной косы, получим кольца Борромео. Удаление одного кольца освобождает оставшихся два, и удаление одной ленты из косы освобождает две другие - они являются простейшими брунновым зацеплением и брунновой косой соответственно.
В стандартной диаграмме зацепления кольца Борромео упорядочены в циклическом порядке . Если использовать цвета, как выше, красное будет лежать над зелёным, зелёное над синим, синее над красным, и при удалении одного из колец одно из оставшихся будет лежать над другим и они окажутся незацеплёнными. Так же и с косой: каждая лента лежит над второй и под третьей.
История
Название «кольца Борромео» появилось из-за их использования на гербе аристократической семьи Борромео в северной Италии . Зацепление много старше и появлялось в виде валкнута на картинных камнях викингов , которые датируются седьмым веком.
Кольца Борромео использовались в различных контекстах, таких как религия и искусство, для того чтобы показать силу единства. В частности кольца использовались как символ Троицы . Известно, что психоаналитик Жак Лакан нашёл вдохновение в кольцах Борромео как модели топологии человеческой личности, в которой каждое кольцо представляет фундаментальный компонент реальности («действительное», «воображаемое» и «символическое»).
Каменный столб в храме Марундиисварар в Ченнаи , Тамилнад , Индия , датируемый шестым веком, содержит такую фигуру.
Частичные кольца
Известно много визуальных знаков, относящихся к средним векам и временам ренессанса, состоящих из трёх элементов, сцеплённых друг с другом тем же способом, что и кольца Борромео (в их общепринятом двумерном представлении), но индивидуальные элементы при этом не представляют замкнутых колец. Примерами таких символов служат рога на камне Snoldelev и полумесяцы Дианы де Пуатье . Примером знака с тремя различными элементами служит эмблема клуба Интернасьонал . Хоть и в меньшей степени, к этим символам относятся ганкиил и диаграмма Венна из трёх элементов.
Реализации
Квантово-механический аналог колец Борромео называется ореолом или состоянием Ефимова (существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Николаевичем Ефимовым в 1970 году). В 2006 году исследовательская группа Рудольфа Грима и Ганса-Кристофа Нэгерля из Института экспериментальной физики Инсбрукского университета (Австрия) экспериментально подтвердила существование таких состояний в ультрахолодном газе атомов цезия и опубликовала открытие в научном журнале Nature . Группа физиков под руководством Рандалла Хулета (Randall Hulet) в университете Райса в Хьюстоне получили тот же самый результат с помощью трёх связанных атомов
Тем не менее, все вместе они сцеплены.
Математические свойства
Несмотря на кажущуюся из иллюстраций естественность колец Борромео, из геометрически идеальных окружностей такое зацепление сделать невозможно. Также это можно увидеть, рассмотрев диаграмму узла: если предположить, что окружности 1 и 2 касаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в одной плоскости, либо на сфере. В обоих случаях третья окружность должна пересекать эту плоскость или сферу в четырёх точках и не лежать на ней, что невозможно.
В то же время подобное зацепление можно осуществить с помощью эллипсов, причём Эксцентриситет этих эллипсов можно сделать сколь угодно малым. По этой причине тонкие кольца, сделанные из гибкой проволоки, можно использовать как кольца Борромео.
Зацепление
Гиперболическая геометрия
Кольца Борромео являются примером гиперболического сцепления - дополнение колец Борромео в 3-сфере допускает полную гиперболическую метрику с конечным объёмом. Каноническое разложение (Эпштейна - Пеннера) дополнения состоит из двух правильных октаэдров . Гиперболический объём равен 16Л(π/4) = 7.32772…, где Л - функция Лобачевского.
Связь с косами
Если рассечь кольца Борромео, получим одну итерацию обычного плетения косы . Обратно, если связать концы (одной итерации) обычной косы, получим кольца Борромео. Удаление одного кольца освобождает оставшихся два, и удаление одной ленты из косы освобождает две другие - они являются простейшими брунновым зацеплением и брунновой косой соответственно.
В стандартной диаграмме зацепления кольца Борромео упорядочены в циклическом порядке . Если использовать цвета, как выше, красное будет лежать над зелёным, зелёное над синим, синее над красным, и при удалении одного из колец одно из оставшихся будет лежать над другим и они окажутся незацеплёнными. Так же и с косой: каждая лента лежит над второй и под третьей.
История
 |
 |
 |
 |
Название «кольца Борромео» появилось из-за их использования на гербе аристократической семьи Борромео в северной Италии . Зацепление много старше и появлялось в виде валкнута на картинных камнях викингов , которые датируются седьмым веком.
Кольца Борромео использовались в различных контекстах, таких как религия и искусство, для того чтобы показать силу единства. В частности кольца использовались как символ Троицы . Известно, что психоаналитик Жак Лакан нашёл вдохновение в кольцах Борромео как модели топологии человеческой личности, в которой каждое кольцо представляет фундаментальный компонент реальности («действительное», «воображаемое» и «символическое»).
Каменный столб в храме Марундиисварар в Ченнаи , Тамилнад , Индия , датируемый шестым веком, содержит такую фигуру .
Частичные кольца
Известно много визуальных знаков, относящихся к средним векам и временам ренессанса, состоящих из трёх элементов, сцеплённых друг с другом тем же способом, что и кольца Борромео (в их общепринятом двумерном представлении), но индивидуальные элементы при этом не представляют замкнутых колец. Примерами таких символов служат рога на камне Snoldelev и полумесяцы Дианы де Пуатье . Примером знака с тремя различными элементами служит эмблема клуба Интернасьонал . Хоть и в меньшей степени, к этим символам относятся ганкиил и диаграмма Венна из трёх элементов.
Реализации
 |
